Estratégias de resolução

Conheça caminhos para aplicar, passo a passo, a definição
formal de limite em diferentes situações e representações.

Como demonstrar um limite usando a definição formal?

A definição formal de limite é essencial para garantir, com rigor, que uma função se aproxima de um valor específico conforme a variável se aproxima de um ponto. Embora inicialmente pareça abstrata, ela segue uma estrutura lógica bem definida, que pode ser aplicada passo a passo.

Etapa 1 - Enuncie a definição formal

Dado um valor \( a \) e um número real \( L \), dizer que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) significa que:

\( \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 \text{ tal que } 0 < |x – a| < \delta \Rightarrow |f(x) – L| < \varepsilon \)

Esse enunciado expressa o compromisso de que os valores de \( f(x) \) podem ser feitos arbitrariamente próximos de \( L \), bastando restringir suficientemente \( x \) ao redor de \( a \) (sem ser exatamente igual a \( a \)).

Representação gráfica

Etapa 2 - Faça a manipulação algébrica da desigualdade

Dado um valor \( a \) e um número real \( L \), dizer que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \) significa que:

\( |f(x) – L| < \varepsilon \)

Em termos de \( |x – a| \), para descobrir quão perto \( x \) precisa estar de \( a \). Para isso:

Substitui-se \( f(x) \) pela função dada;
Simplifica-se a expressão \( |f(x) – L| \) usando propriedades algébricas e de módulo;
Manipula-se a desigualdade até isolar \( |x – a| \) ou alguma expressão equivalente.

Esse processo é fundamental para descobrir qual restrição deve ser imposta a \( |x – a| \), permitindo então expressar \( \delta \) em termos de \( \varepsilon \).

Etapa 3 - Encontre uma expressão para \( \delta \)

Depois de isolar uma expressão equivalente a \( |x – a| \), como por exemplo:

\( |f(x) – L| < \varepsilon \)

A desigualdade obtida mostra que, para manter \( |f(x) – L| < \varepsilon \), basta controlar \( |x – a| \) por uma fração adequada de \( \varepsilon \).

Neste caso, basta impor:

\( |x – a| <\frac{\varepsilon}{k} \)

E isso motiva a escolha:

\( \delta = \frac{\varepsilon}{k} \)

Assim, define-se uma “distância de segurança” \( \delta \), suficiente para garantir que, dentro desse intervalo em torno de \( a \), a função \( f(x) \) permanecerá dentro da margem \( \varepsilon \) em torno de \( L \).

Essa escolha é fundamental para concluir a prova com base na definição formal.

Etapa 4 - Conclua aplicando a definição

Com o \( \delta \) encontrado, reescreva a demonstração em termos da definição:

Dado \( \varepsilon > 0 \), escolha \( \delta = \cdots \).

Se \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \). Assim, mostra-se formalmente que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \).

Por que seguir esses passos?

Seguir essa estrutura ajuda a:

Garantir o rigor matemático exigido por uma definição formal.
Evitar erros conceituais, como inverter a lógica da implicação.
Desenvolve a capacidade argumentação precisa e estruturada.
Conectar a intuição do “aproximar-se” como uma linguagem matemática precisa.

A seguir, apresentam-se exemplos resolvidos passo a passo para ilustrar a aplicação da definição formal de limite.

Exemplos analisados

Exemplo 1 Demonstre, a partir da definição formal de limite, que: \( \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 \)

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Queremos provar que: \( \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 \) usando a definição:

\( \text{para todo } \varepsilon > 0, \text{ existe } \delta > 0 \text{ tal que, se } 0 < |x – 2| < \delta, \text{ então } |(3x + 1) – 7| < \varepsilon \)

Etapa 2 - Manipulação algébrica da desigualdade

Vamos trabalhar a expressão \( |(3x + 1) – 7| \):

\( |(3x + 1) – 7| = |3x – 6| = 3|x – 2| \)

Queremos que: \( 3|x – 2| < \varepsilon \Rightarrow |x – 2| < \frac{\varepsilon}{3} \).

Etapa 3 - Escolha de \( \delta \)

Com base na manipulação anterior, sabemos que garantir \( |x – 2| < \frac{\varepsilon}{3} \) assegura que \( |(3x + 1) – 7| < \varepsilon \). Assim, escolhemos \( \delta = \frac{\varepsilon}{3} \).

Etapa 4 - Conclusão com a definição

Dado \( \varepsilon > 0 \), seja \( \delta = \frac{\varepsilon}{3} \).

Então, se \( 0 < |x – 2| < \delta \), temos: \( |(3x + 1) – 7| = 3|x – 2| < 3 \cdot \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \)

Logo, \( \lim_{x \to 2} (3x + 1) = 7 \).

Exemplo 2 Use a definição \( \varepsilon \) e \( \delta \) para provar que: \( \lim_{x \to 0} 5x = 0 \)

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Queremos provar \( \lim_{x \to 0} 5x = 0 \), usando a definição:

para todo \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \), então >\( |f(x) – L| < \varepsilon \).

Etapa 2 - Manipulação algébrica da desigualdade

\( |5x – 0| = 5|x| \)

Queremos que \( 5|x| < \varepsilon \Rightarrow |x| < \frac{\varepsilon}{5} \).

Etapa 3 - Escolha de \( \delta \)

A manipulação mostrou que, para garantir \( |5x| < \varepsilon \), basta impor que \( |x| < \frac{\varepsilon}{5} \).

Portanto, define-se: \( \delta = \frac{\varepsilon}{5} \).

Com essa escolha, qualquer \( x \) dentro do \( |x| < \delta \) garante que \( f(x) = 5x \) estará a menos de \( \varepsilon \) unidades de \( 0 \).

Etapa 4 - Conclusão com a definição

Dado \( \varepsilon > 0 \), seja \( \delta = \frac{\varepsilon}{5} \).

Então, se \( 0 < |x – a| < \delta \), temos \( |5x – 0| = 5|x| < 5 \cdot \frac{\varepsilon}{5} = \varepsilon \).

Logo, \( \lim_{x \to 0} f(5x) = 0 \).

Exemplo 3 Demonstre, a partir da definição formal de limite, que: \( \lim_{x \to a} Kf(x) = KL \), para todo \( K \in \mathbb{R} \), dado que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \)

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Queremos provar que \( \lim_{x \to a} Kf(x) = KL \), usando a definição:

para todo \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |Kf(x) – KL| < \varepsilon \).

Etapa 2 - Manipulação algébrica da desigualdade

\( |Kf(x) – KL| = |K||f(x) – L| \)

Queremos que \( |K||f(x) – L| < \varepsilon \Rightarrow |f(x) - L| < \frac{\varepsilon}{|K|} \)

Etapa 3 - Escolha de \( \delta \)

Sabemos que \( \lim_{x \to a} f(x) = L \), logo, pela definição formal, existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \Rightarrow |f(x) – L| < \frac{\varepsilon}{|K|} \).

Etapa 4 - Conclusão com a definição

Dado \( \varepsilon > 0 \), pela definição de limite de \( f(x) \), existe \( \delta > 0 \) tal que: \( 0 < |x – a| < \delta \Rightarrow |f(x) – L| < \frac{\varepsilon}{|K|} \).

Logo, \( |Kf(x) – KL| = |K||f(x) – L| < |K|\cdot\frac{\varepsilon}{|K|} = \varepsilon \).

Portanto, \( \lim_{x \to a} Kf(x) = KL \).

Exemplo 4 Dado que \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \), prove que existe \( \delta > 0 \) tal que \( |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 4| < 0{,}5 \)

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Sabemos que \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \), então pela definição:

\( \varepsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \).

Neste caso, escolhe-se \( \varepsilon = 0{,}5 \).

Etapa 2 - Aplicação direta

Pela própria definição de limite dada, para \( \varepsilon = 0{,}5 \), existe um \( \delta > 0 \) correspondente que satisfaz: \( 0 < |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 4| < 0{,}5 \).

Etapa 3 - Conclusão com a definição

Logo, existe \( \delta > 0 \) tal que \( |x – 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 4| < 0{,}5 \).

Exemplo 5 Mostre que \( \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \) se, e somente se, \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \), usando a definição formal de limite.

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Diz-se que:

\( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \), o que significa que: para todo \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x)| < \varepsilon \).
\( \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \), o que significa que: para todo \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( ||f(x)| – 0| < \varepsilon \).

Percebe-se que ambas as definições envolvem \( |f(x)| < \varepsilon \), portanto, a equivalência pode ser demonstrada formalmente em ambas as direções.

Etapa 2 - Manipulação algébrica da desigualdade

Como queremos provar uma equivalência, devemos demonstrar as duas direções:

Pela direita ⇒, se \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \), então \( \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \). Sabemos que: \( ||f(x)| – 0| = |f(x)| < \varepsilon \). Ou seja, a desigualdade \( |f(x)| < \varepsilon \) já é satisfeita pela definição do limite de \( f(x) \) tendendo a \( 0 \).
Pela esquerda ⇐, se \( \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \), então \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \). Da mesma forma, \( |f(x)| < \varepsilon \), então: \( |f(x) – 0| = |f(x)| < \varepsilon \). Ou seja, a condição exigida pela definição de \( f(x) \) em \( a \) sendo igual a \( 0 \) também está satisfeita.

Etapa 3 - Escolha de \( \delta \)

Em ambos os sentidos, a mesma escolha de \( \delta \) que garante \( |f(x)| < \varepsilon \) também garante \( |f(x) – 0| < \varepsilon \), e vice-versa. Portanto, não é necessário fazer uma escolha diferente de \( \delta \): basta usar a definição diretamente.

Etapa 4 - Conclusão com a definição

Dado \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x)| < \varepsilon \) e \( ||f(x) – 0| < \varepsilon \). Logo, conclui-se que: \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \iff \lim_{x \to a} |f(x)| = 0 \

Exemplo 6 Dado que \( \lim_{x \to 2} x^2 \), prove que existe \( \delta > 0 \) tal que \( |x - 2| < \delta \Rightarrow |f(x) - 4| < 0{,}01 \).

Etapa 1 - Enunciado da definição formal

Queremos provar que:

\( \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \)

Segundo a definição formal de limite, para que:

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \), se \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x - a| < \delta \), então \( |f(x) - L| < \varepsilon \).

Sabemos que:

\( f(x) = x^2 \)
\( a = 2 \)
\( L = 4 \)
\( \varepsilon = 0{,}01 \)

Queremos encontrar \( \delta > 0 \) tal que:

\( 0 < |x – 2| < \delta \Rightarrow |x^2 – 4| < 0{,}01 \)

Etapa 2 - Manipulação algébrica da desigualdade

Queremos manipular a desigualdade:

\( |x^2 – 4| < \varepsilon \)

Note que:

\( |x^2 – 4| = |(x – 2)(x + 2)| = |x – 2| \cdot |x + 2| \)

Portanto, a desigualdade a ser satisfeita se torna:

\( |x – 2| \cdot |x + 2| < \varepsilon \)

Como queremos isolar \( |x – 2| \), precisamos controlar o valor \( |x + 2| \), já que ele depende de \( x \), que está variando.

Para isso, supomos inicialmente que \( |x – 2| < 1 \).

Pela propriedade do módulo, isso implica:

\( -1 < x – 2 < 1 \Rightarrow 1 < x < 3 \)

Somando 2 a todos os termos da desigualdade:

\( 3 < x + 2 < 5 \Rightarrow |x + 2| < 5 \)

Assim, substituindo na expressão inicial:

\( |x^2 – 4| = |x – 2||x + 2| < 5|x – 2| \)

Etapa 3 - Encontrar uma expressão para \( \delta \)

Para garantir que \( |x^2 – 4| < \varepsilon \), basta impor:

\( |x^2 – 4| = |x – 2||x + 2| < 5|x – 2| \)

Com a suposição adicional de \( |x – 2| < 1 \), a escolha final para \( \delta \) é:

\( \delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5}) \)

No caso de \( \varepsilon = 0{,}01 \), temos:

\( \delta = \min(1, \frac{\varepsilon}{5}) = 0{,}002 \)

Etapa 4 - Conclusão com a definição

Dado \( \varepsilon = 0{,}01 \), escolha \( \delta = 0{,}002 \)

Então, se \( 0 < |x – 2| < \delta \), temos:

\( |x^2 – 4| = |x – 2||x + 2| < 5|x – 2| < 5\delta = 5 \cdot 0{,}002 = 0{,}01 = \varepsilon \)

Logo, pela definição formal:

\( \lim_{x \to 2} x^2 = 4 \)

Como usar tabelas e gráficos para conjecturar e justificar um limite com a definição formal?

Em muitos casos, uma tabela de valores ou um gráfico pode ajudar a formular uma conjectura sobre o valor do limite. A seguir, apresenta-se uma estratégia para abordar esse tipo de problema:

Etapa 1 - Análise da tabela ou gráfico

Observe como os valores de \( f(x) \) se comportam quando \( x \) se aproxima de um determinado valor \( a \). Se os valores se aproximam de um número específico \( L \), conjectura-se que:

\( \lim_{x \to a} f(x) = L \)

Etapa 2 - Verificação numérica da aproximação

Verifique se, para um dado \( \varepsilon > 0 \), os valores \( f(x) \) estão dentro do intervalo \( (L – \varepsilon, L + \varepsilon) \) quando \( x \) está suficientemente próximo de \( a \).

Etapa 3 - Manipulação algébrica

Use a definição formal para encontrar uma expressão equivalente a: \( |f(x) – L| < \varepsilon \) e determine o valor de \( \delta \) que satisfaz essa condição.

Etapa 4 - Conclusão

Mostre que, com esse \( \delta \), sempre que \( |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \), conformando a validade da conjectura com base na definição formal. Essa abordagem ajuda a construir a ponte entre a intuição visual e o rigor matemático da definição formal de limite.

Por que seguir esses passos?

Seguir essa estrutura ajuda a:

Construir a ponte entre a intuição visual e o rigor matemático da definição formal de limite.

Exemplos analisados

Exemplo 1 A partir dos valores da tabela, conjecture o limite de \( f(x) \) quando \( x \to 2 \), e use a definição formal para justificar um \( \delta \) correspondente a \( \varepsilon > 0{,}01 \).

Representação tabular

\( x \)	\( f(x) \)
1,9	3,9
1,99	3,99
1,999	3,999
2,001	4,001
2,01	4,01
2,1	4,1

Etapa 1 - Conjectura do limite

A análise da tabela sugere que, à medida que \( x \) se aproxima de 2, os valores de \( f(x) \) se aproximam de 4. Logo, conjectura-se que: \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \).

Etapa 2 - Enunciado da definição formal

Deseja-se justificar, usando a definição, que: dado \( \varepsilon > 0{,}01 \), existe \( \delta > 0 \) tal que, se \( 0 < |x - 2| < \delta \), então \( |f(x) – 4| < \varepsilon \).

Etapa 3 - Estimativa de \( \delta \) para \( \varepsilon = 0{,}01 \)

A meta é encontrar valores de \( x \) tais que: \( |f(x) – 4| < 0{,}01 \).
Analisando a tabela:

Para \( x = 1{,}99 \), \( f(x) = 3{,}99 \) → \( |f(x) – 4| = 0{,}01 \);
\( x = 1{,}999 \), \( f(x) = 3{,}999 \) → \( |f(x) – 4| = 0{,}001 < 0{,}01 \);
\( x = 2{,}001 \), \( f(x) = 4{,}001 \) → \( |f(x) – 4| = 0{,}001 < 0{,}01 \);
\( x = 2{,}01 \), \( f(x) = 4{,}01 \) → \( |f(x) – 4| = 0{,}01 \);
\( x = 2{,}1 \), \( f(x) = 4{,}1 \) → \( |f(x) – 4| = 0{,}1 > 0{,}01 \).

Assim, para garantir \( |f(x) – 4| < 0{,}01 \), restringe-se \( x \) a valores entre \( 1{,}99 \) e \( 2{,}01 \), excluindo extremos.

Portanto, uma escolha segura é: \( \delta = 0{,}001 \).

Pois, \( 0 < |x – 2| < 0{,}001 \), então \( |f(x) – 4| < 0{,}01 \).

Etapa 4 - Conclusão

Dado \( \varepsilon = 0{,}01 \), escolha \( \delta = 0{,}001 \). Se \( 0 < |x - 2| < \delta \), os dados da tabela mostram que \( |f(x) – 4| < 0{,}01 \). Logo, a definição formal está satisfeita. Assim, justifica-se com base na definição formal que: \( \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \

Exemplo 2 Com base no gráfico da função \( f(x) = x + 1 \), determine se \( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \), justificando com a definição \( \varepsilon \) e \( \delta \) e destacando o papel da continuidade.

Etapa 1 - Análise da tabela ou gráfico

Considere a função \( f(x) = x + 1 \), que é uma reta crescente, contínua em todos os reais. Para conjecturar o limite quando \( x \to 1 \), podemos montar uma tabela com valores próximos a \( 1 \):

\( x \)	\( f(x) = x + 1 \)
0,9	1,9
0,99	1,99
0,999	1,999
1,001	2,001
1,01	2,01
1,1	2,1

À medida que \( x \) se aproxima de \( 1 \), \( f(x) \) se aproxima de \( 2 \). Isso sugere que

\( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \)

Etapa 2 -Verificação numérica da aproximação

Agora, escolha um valor para \( \varepsilon \), por exemplo:

\( \varepsilon = 0{,}1 \), então o intervalo para \( f(x) \) é \( (2 – 0{,}1,\ 2 + 0{,}1) = (1{,}9,\ 2{,}1) \)

Queremos saber: quais valores de \( x \) deixam \( f(x) \) dentro desse intervalo?
Sabendo que \( f(x) = x + 1 \), então:

\( 1{,}9 < x + 1 < 2{,}1 \Rightarrow 0{,}9 < x < 1{,}1 \)

Portanto, se \( x \in (0{,}9,\ 1{,}1) \), então \( f(x) \in (1{,}9,\ 2{,}1) \).

Isso sugere que valores de \( x \) suficientemente próximos de \( 1 \) (isto é, com \( |x – 1| < 0{,}1 \)) mantêm \( f(x) \) dentro de \( \varepsilon \) de \( 2 \).

Etapa 3 - Manipulação algébrica com a definição formal

Queremos verificar pela definição formal de limite:

Dado \( \varepsilon > 0 \), existe \( \delta > 0 \) tal que \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x)| < \varepsilon \) e \( |f(x) – 0| < \varepsilon \)

Sabendo que \( f(x) = x + 1 \), temos:

\( |f(x) – 2| = |(x + 1) – 2| = |x – 1| \

Logo, a desigualdade \( |f(x) – 2| < \varepsilon \) equivale a \( |x – 1| < \varepsilon \).

Assim, basta escolher \( \varepsilon = \delta \).

Etapa 4 - Conclusão

Como \( |f(x) – 2| = |x – 1| \), então, para qualquer \( \varepsilon > 0 \), se escolhermos \( \varepsilon = \delta \), garantimos que:

( |x – 1| < \delta \Rightarrow |f(x) – 2| < \varepsilon \)

Isso confirma que:

( \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \)

A \( f(x) = x + 1 \) é contínua em todo o domínio. Isso significa que:

\( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \)

Em particular:

\( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2 \)

A continuidade simplifica a análise, pois garante que o valor do limite é igual ao valor da função no ponto.

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A plataforma é um recurso educacional desenvolvido no âmbito do Programa de Pós-Graduação em Tecnologia Educacional (PPGTE) da Universidade Federal do Ceará (UFC).

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