Limite de uma função
Aprofunde-se no conceito de limite e veja como ele descreve o
comportamento de uma função próximo de um ponto, conectando
intuição, rigor matemático e diferentes formas de representação.
Aprofunde-se no conceito de limite e veja como ele descreve o comportamento de uma função próximo de um ponto, conectando intuição, rigor matemático e diferentes formas de representação.
Limite de uma função real
Introdução
Após a exploração do contexto histórico e dos fundamentos epistemológicos que sustentam o conceito de limite, torna-se essencial analisá-lo em um de seus contextos mais significativos: o limite de uma função real. Essa abordagem permite descrever o comportamento de uma função nas proximidades de um determinado ponto, ainda que ela não esteja definida nesse ponto ou não assuma ali o valor pelos demais valores próximos.
O estudo de limite de uma função busca responder à seguinte questão:
A resposta para essa pergunta não depende do valor de f(a) (caso exista), mas sim do comportamento da função nas vizinhanças desse ponto.
Definição formal
Para expressar essa ideia com precisão, utiliza-se a definição formal de limite. Diz-se que:
\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]
se, para todo \( \varepsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, sempre que \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \).
Essa formulação garante que os valores de \( f(x) \) podem ser tornados tão próximos quanto se deseje de \( L \), desde que os valores de \( x \) estejam suficientemente próximos de \( a \), mas sem ser exatamente igual a \( a \).
Generalização
Seja \( f \) uma função real e \( a \) um ponto de domínio de \( f \) (ou uma extremidade de um dos intervalos que o compõem). A representação gráfica a seguir ilustra a definição formal de limite com base em uma função genérica e contínua:
A definição formal de limite estabelece que, para todo \( \varepsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \), tal que, para todo \( x \in D_f \), se \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \).
Esta condição é logicamente equivalente a afirmar que: para todo \( \varepsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, se \( x \in D_f \) e \( x \ne a \), com \( a – \delta < x < a + \delta \), então \( L – \varepsilon < f(x) < L + \varepsilon \).
A representação gráfica permite visualizar que, ao restringir os valores de \( x \) ao intervalo \( (a – \delta, a + \delta) \), os valores correspondentes de \( f(x) \) permanecem dentro do intervalo \( (L – \varepsilon, L + \varepsilon) \), o que formaliza a ideia de aproximação controlada e previsibilidade do comportamento da função nas vizinhanças de um ponto.
Situações que podem ocorrer
- Funções contínuas: a função está definida em \( a \) e \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \);
- Descontinuidade removível: o limite existe, mas a função não está definida em \( a \) ou o valor de \( f(a) \) é diferente do limite;
- Funções com limite inexistente: os valores de \( f(x) \) não se aproximam de um único valor quando \( x \to a \), seja por divergência lateral ou por crescimento infinito.
Exemplo 01 Função contínua com limite no ponto
\[
f(x) = x^2
\]
e o ponto de análise em \( x = 2 \). Nesse caso, a função está definida em \( x = 2 \) e apresenta continuidade, pois:
\[
f(2) = 4 \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} x^2 = 4
\]
Portanto:
\[
\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)
\]
O que caracteriza a continuidade da função no ponto \( x = 2 \).
|
\( x \)
|
\( f(x) = x^2 \)
|
|---|---|
|
1,900
|
3,61
|
|
1,990
|
3,9601
|
|
1,999
|
3,996001
|
|
2,001
|
4,004001
|
|
2,010
|
4,0401
|
Essa tabela evidencia que, à medida que \( x \) se aproxima de 2, os valores de \( f(x) \) se aproximam de 4.
Interpretação
A função \( f(x) = x^2 \) é uma função quadrática, e, portanto, contínua em todos os pontos do seu domínio. Como:
\[
\lim_{x \to 2} x^2 = 4 = f(2),
\]
conclui-se que o limite existe e é igual ao valor da função no ponto, caracterizando uma situação de função contínua com limite no ponto analisado.
Análise dos registros de interpretação
- Registro algébrico: a expressão \( f(x) = x^2 \) permite, por substituição direta, concluir que \( \lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4 \). Essa conclusão evidencia que o limite existe e coincide com o valor da função, condição necessária para a continuidade.
- Registro gráfico: no gráfico da parábola, observa-se que os valores de \( f(x) \) se aproximam suavemente de 4 à medida que \( x \) tende a 2. Não há rupturas ou variações bruscas, o que reforça visualmente a noção de continuidade.
- Registro numérico (tabular): a tabela de valores fornece dados para \( x \) próximos de 2, ilustrando que \( x \) tende a 4 tanto pela esquerda quanto pela direita. Essa regularidade numérica permite observar a tendência do valor da função à medida que \( x \) se aproxima de 2.
Erros comuns de interpretação
- Acreditar que o limite e o valor da função são sempre diferentes: em alguns contextos, considera-se que o limite é um valor “próximo” e não necessariamente igual ao valor real da função. Esse equívoco impede o reconhecimento de situações de continuidade.
- Como evitar: perceber que, em funções contínuas, o limite existe e é igual ao valor da função, ou seja, \( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) \). A análise gráfica e a tabela confirmam essa equivalência.
- Desconsiderar a necessidade da aproximação bilateral: às vezes, avalia-se apenas a aproximação por um lado (esquerda ou direita), o que pode induzir a erros na análise da existência do limite.
- Como evitar: sempre verificar se a aproximação se dá de ambos os lados de forma coerente. No caso da função \( f(x) = x^2 \), os valores se aproximam simetricamente de 4 quando \( x \to 2 \) por qualquer direção.
- Focar apenas no valor de \( f(a) \): outro erro comum é atribuir automaticamente o valor do limite ao valor exato da função no ponto, sem considerar o comportamento em torno dele.
- Como evitar: compreender que o limite depende do comportamento da função ao redor do ponto, e não exclusivamente do valor pontual.
Para refletir
- E quando a função não é continua?
- O que muda no comportamento do limite?
- O valor da função ainda importa?
- Existe limite mesmo quando a função não está definida no ponto ou esse ponto não pertence ao seu domínio?
Nem sempre o gráfico é suave ou o valor da função está presente no ponto analisado. Em alguns casos, a função apresenta um “salto” ou mesmo uma lacuna.
Ainda assim, o limite pode existir!
Compreender essas situações ajuda a construir uma visão mais ampla e precisa sobre o comportamento das funções reais.
A seguir, será estudado um exemplo típico de descontinuidade removível, em que o limite existe, mesmo sem que a função esteja definida no ponto.
Exemplo 02 Função com descontinuidade removível
\[
f(x) = \frac{x^2 – 9}{x – 3}
\]
Essa função não está definida em \( x = 3 \), pois ocorre uma divisão por zero (o que caracteriza uma indeterminação). No entanto, ao simplificar a expressão, tem-se:
\[
f(x) = \frac{(x – 3)(x + 3)}{x – 3} = x + 3, \quad \text{para } x \ne 3
\]
Essa simplificação revela que o comportamento da função em torno de \( x = 3 \) é o mesmo da reta \( f(x) = x + 3 \), com exceção de um “furo” no ponto \( (3, 6) \). Trata-se, portanto, de uma descontinuidade removível, pois, ao redefinir pontualmente a função como:
\[
f(3) = 6
\]
seria possível torná-la contínua em \( x = 3 \).
|
\( x \)
|
\[ f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3} \]
|
|---|---|
|
2,9
|
5,9
|
|
2,99
|
5,99
|
|
2,999
|
5,999
|
|
3,001
|
6,001
|
|
3,01
|
6,01
|
|
3,1
|
6,1
|
Interpretação
\[
\lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = 6
\]
- o limite depende do comportamento da função nas vizinhanças do ponto, e não do valor da função nele;
- uma redefinição pontual em \( x = 3 \) pode restaurar a continuidade;
- indeterminações algébricas desse tipo são frequentemente resolvíveis por simplificação.
Análise dos registros de interpretação
- Registro algébrico: a função é inicialmente apresentada na forma racional \( \frac{x^2 – 9}{x – 3} \), que resulta em uma indeterminação em \( x = 3 \). A simplificação algébrica para \( f(x) = x + 3 \), com \( x \ne 3 \), permite observar que a função se comporta como uma reta, exceto no ponto problemático. Essa manipulação dentro do mesmo registro é um tratamento algébrico.
- Registro gráfico: o gráfico da função evidencia uma linha reta com um “furo” no ponto \( (3, 6) \), indicando visualmente a ausência de valor naquele ponto, mas também a tendência clara da função. O gráfico ajuda a visualizar a aproximação dos valores e torna explícita a descontinuidade removível.
- Registro numérico (tabular): os valores de \( f(x) \) em torno de \( x = 3 \) confirmam que a função se aproxima de 6, tanto pela esquerda quanto pela direita. Essa representação reforça a evidência do limite existente, mesmo com a indefinição em \( x = 3 \).
Erros comuns de interpretação
- Acreditar que o limite não existe quando a função não está definida no ponto: um equívoco frequente é pensar que a ausência de \( f(a) \) invalida a existência do limite, como se a função precisasse obrigatoriamente estar definida no ponto analisado.
- Como evitar: compreender que o limite depende do comportamento da função nas vizinhanças do ponto. Mesmo sem \( f(3) \), é possível afirmar que \( \lim_{x \to 3} f(x) = 6 \) com base na aproximação gráfica, algébrica e tabular.
- Confundir a indeterminação com inexistência de limite: ao notar a expressão \( \frac{x^2 – 9}{x – 3} \), alguns estudantes interpretam a indeterminação \( \frac{0}{0} \) como sinal de que o limite não existe.
- Como evitar: reconhecer que formas indeterminadas pedem reescrita ou simplificação. Ao fatorar e simplificar a expressão, torna-se evidente que a função se comporta como \( f(x) = x + 3 \) nas proximidades de \( x = 3 \).
- Ignorar a possibilidade de “corrigir” a função com redefinição pontual: às vezes, interpreta-se que uma função com “buraco” ou ponto indefinido é irremediavelmente descontínua.
- Como evitar: identificar que certas descontinuidades são removíveis (como neste exemplo) e que a simples atribuição de um valor coerente ao ponto (neste caso, \( f(3) = 6 \)) pode restaurar a continuidade.
Para refletir
- Por que o comportamento da função nas vizinhanças de um ponto pode ser mais relevante do que o valor no próprio ponto?
- Toda função com descontinuidade removível tem limite? E toda função com limite pode ser tornada contínua?
- Como o gráfico e a tabela ajudaram a estimar o valor do limite, mesmo quando não estava definido?
E se a função estiver definida, mas com valor diferente do limite?
No exemplo anterior, o que impedia a continuidade era apenas a ausência de definição no ponto – um “furo” que poderia ser preenchido. Mas há situações em que a função está definida no ponto, porém o valor assumido não corresponde à tendência dos demais valores de \( f(x) \).
Nesses casos, mesmo que o limite exista, a função apresenta uma descontinuidade, e a solução passa por analisar se esse valor pode ou não ser ajustado.
É justamente essa situação que será explorada a seguir.
Exemplo 03 Função com valor distinto do limite
Considere a função definida por partes:
\[f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{se } x \neq 1 \\
5, & \text{se } x = 1
\end{cases}
\]
A função apresentada é definida como \( f(x) = x^2 \) para \( x \ne 1 \), mas em \( x = 1 \), define-se \( f(1) = 5 \). Nesse caso:
- o limite de \( f(x) \) quando \( x \to 1 \) existe e é igual a 1, pois \( x^2 \to 1 \);
- no entanto, \( f(1) = 5 \), ou seja, o valor da função é diferente do limite.
Essa é também uma descontinuidade removível, pois seria possível redefinir a função em \( x = 1 \) como \( f(1) = 1 \) e, assim, torná-la contínua.
|
\( x \)
|
\( f(x) \)
|
|---|---|
|
0,9
|
0,81
|
|
0,99
|
0,9801
|
|
0,999
|
0,998001
|
|
1,001
|
1,002001
|
|
1,1
|
1,21
|
Interpretação
\[
\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \quad \text{e} \quad f(1) = 5
\]
Essa situação mostra que:
- o limite existe, mas não coincide com o valor da função;
- isso configura uma descontinuidade removível;
- redefinir \( f(1) = 1 \) tornaria a função contínua em \( x = 1 \).
Análise dos registros de interpretação
Segundo Duval, a compreensão de conceitos matemáticos exige a coordenação entre diferentes registros semióticos. No exemplo apresentado, essa articulação é essencial para entender a noção de limite.
- Registro algébrico: a definição por partes revela uma distinção pontual entre a regra e o valor isolado da função. A estrutura simbólica indica a existência de uma descontinuidade, perceptível apenas com atenção à regra de definição.
- Registro gráfico: a representação visual mostra a continuidade da curva \( f(x) = x^2 \) interrompida por um ponto isolado em \( (1, 5) \), realçando o afastamento entre o valor da função e sua tendência local.
- Registro numérico (tabular): os valores numéricos de \( f(x) \) , para \( x \) próximo de 1, convergem para 1, reforçando a existência de um comportamento regular mesmo diante da ruptura pontual na definição da função.
A convergência entre esses registros permite não apenas identificar o valor do limite, mas também compreender o tipo de descontinuidade envolvido e reconhecer que a continuidade poderia ser restabelecida com um pequeno ajuste pontual.
Erros comuns de interpretação
- Acreditar que o limite deve coincidir com o valor da função: um erro recorrente é presumir que, sempre que a função estiver definida em um ponto, seu valor corresponderá ao limite nesse ponto.
- Como evitar: entender que o limite é determinado pelo comportamento da função nas vizinhanças de \( x = 1 \), e não pelo valor pontual de \( f(1) \). Neste exemplo, embora \( f(1) = 5 \), os valores de \( f(x) \) para \( x \) próximos de 1 tendem a 1.
- Ignorar a existência do limite devido à diferença entre \( f(a) \) e o limite: alguns estudantes concluem que o limite não existe simplesmente porque \( f(1) \ne 1 \).
- Como evitar: reconhecer que o limite pode existir mesmo que a função assuma um valor distinto naquele ponto. A análise do comportamento da função em ambos os lados de \( x = 1 \) é fundamental.
- Não perceber que se trata de uma descontinuidade removível: a discrepância entre o valor do limite e o valor de \( f(1) \) pode levar à ideia de que a função é irrecuperavelmente descontínua.
- Como evitar: identificar que a função se comporta de forma contínua em torno de \( x = 1 \), e que a redefinição pontual \( f(1) = 1 \) eliminaria a descontinuidade, tornando-a contínua em todo o domínio.
Para refletir
Se o limite existe, por que a função não é continua nesse ponto?
Como identificar visualmente que o valor da função não corresponde ao valor do limite?
De que modo os diferentes registros contribuem para a identificação da descontinuidade?
Em que medida uma redefinição pontual altera o comportamento da função?
Exemplo 04 Função com limite inexistente
Considere a função definida por partes:
\[
f(x)=
\begin{cases}
3x-2, & \text{se } x < 3 \\[4pt]
5-x, & \text{se } x \ge 3
\end{cases}
\]
Essa função está definida para todos os números reais. No entanto, no ponto \( x = 3 \), ela apresenta um comportamento específico: os valores da função ao se aproximar desse ponto pela esquerda e pela direita não conduzem ao mesmo resultado. Isso indica que o limite não existe em \( x = 3 \).
Análise algébrica dos limites laterais
Para verificar a existência do limite, é necessário analisar os limites laterais.
Substituindo valores próximos de 3:
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (3x – 2) = \lim_{x \to 3^-} (3 \cdot 3 – 2) = 7 \)
Limite à direita de 3 (quando: \( x \to 3^- \) )
Substituindo valores próximos de 3:
\( \lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (5 – x) = \lim_{x \to 3^+} (5 – 3) = 2 \)
Como os limites laterais são diferentes, ou seja:
\( \lim_{x \to 3^-} f(x) = 7 \) e \( \lim_{x \to 3^+} f(x) = 2 \)
conclui-se que o limite de \( f(x) \) em \( x = 3 \) não existe, pois não há um único valor \( L \) que satisfaça a definição formal de limite.
Por meio do gráfico é possível visualizar claramente a descontinuidade em \( x = 3 \), com um ponto aberto (azul) indicando o limite lateral à esquerda e um ponto fechado (verde) indicando o valor da função à direita. Isso evidencia que os limites laterais são diferentes, logo o limite não existe em \( x = 3 \).
|
\( x \)
|
\( f(x) \)
|
|---|---|
|
2,9
|
6,7
|
|
2,99
|
6,97
|
|
2,999
|
6,997
|
|
3,001
|
1,999
|
|
3,01
|
1,99
|
|
3,1
|
1,9
|
A tabela mostra que, à medida que \( x \) se aproxima de \( 3 \) pela esquerda, \( f(x) \)tende a \( 7 \), e pela direita, tende a \( 2 \). Como esses valores não coincidem, o limite não existe. Essa é uma descontinuidade do tipo salto, que não pode ser removida por uma redefinição pontual.
Interpretação
Análise dos registros de interpretação
- Registro algébrico: a expressão por partes permite analisar separadamente os comportamentos à esquerda e à direita de \( x=3 \). O uso de \( f(x)=3x-2 \) para \( x<3 \) e \( f(x)=5-x \) para \( x\ge 3 \) torna explícita a diferença nos valores-limite, concluindo que não há um único limite.
- Registro gráfico: o gráfico evidencia a ruptura em \( x = 3 \) . O ponto aberto indica \( 7 \) à esquerda, enquanto o ponto fechado mostra \( 2 \) à direita, reforçando visualmente a inexistência de limite comum.
- Registro numérico (tabular): os valores numéricos confirmam que, ao se aproximar de \( x=3 \) pela esquerda, \( f(x) \) tende a 7, e pela direita, tende a 2, apoiando as conclusões dos registros anteriores.
Erros comuns de interpretação
- Supor que o limite sempre existe quando a função está definida no ponto: por existir \( f(3)=2 \), alguns assumem que o limite também existe.
- Como evitar: lembrar que o limite depende do comportamento de \( f(x) \) ao redor do ponto, não apenas de \( f(3) \).
- Confundir o valor da função com o limite: tomar \( f(3)=2 \) como limite leva a conclusões erradas.
- Como evitar: comparar os limites laterais; se não coincidirem, o limite não existe.
- Ignorar os limites laterais: analisar apenas um lado pode gerar erro.
- Como evitar: calcular e comparar ambos os limites laterais.
- Acreditar que toda descontinuidade é removível: tentar redefinir \( f(3) \) para “corrigir” a descontinuidade é incorreto aqui.
- Como evitar: reconhecer que esta é uma descontinuidade de salto, sem correção pontual possível.
Para refletir
Por que não é possível definir o limite em x = 3 , mesmo que a função esteja bem definida nesse ponto?
O que a divergência entre os limites laterais revela sobre o comportamento da função?
Como cada representação contribuiu para identificar a inexistência do limite?
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