Origem histórica

Explore como o conceito de limite foi construído ao longo dos séculos, desde os paradoxos
antigos até as formulações do Cálculo, revelando a riqueza e os desafios dessa trajetória.

Explore como o conceito de limite foi construído ao longo dos séculos, desde os paradoxosantigos até as formulações do Cálculo, revelando a riqueza e os desafios dessa trajetória.

Aquiles e a tartaruga

Desde a Antiguidade, os gregos já se debruçavam sobre questões relacionadas ao infinito, conceito central tanto para o desenvolvimento do cálculo quanto, de maneira específica, para a noção de limite. Um exemplo emblemático dessa preocupação aparece nosparadoxos formulados por Zenão de Eleia (século V a.C.), que exploravam as implicações do movimento contínuo e da divisibilidade infinita.

No paradoxo da Dicotomia, Zenão argumentava que um corpo jamais conseguiria completar um trajeto, pois, antes de alcançar o destino final, deveria percorrer metade da distância, depois metade da metade e assim sucessivamente, resultando em uma sequência infinita de etapas impossíveis de serem concluídas (Morris, 1998).

Outro paradoxo célebre, conhecido como o de Aquiles e a Tartaruga, também coloca em questão a possibilidade de realizar um número infinito de ações em tempo finito. Zenão sugeria que, mesmo sendo mais veloz, Aquiles jamais alcançaria a tartaruga, pois, a cada momento em que atingisse o ponto anterior ocupado por ela, a tartaruga teria avançado um pouco mais. Esses paradoxos não negavam o movimento, mas desafiavam a lógica por trás da continuidade e da infinitude, antecipando discussões fundamentais que seriam retomadas séculos depois no desenvolvimento do conceito moderno de limite (Zuchi, 2005).

Figura 1 – Representação de Aquiles e a tartaruga

Fonte: Imagem gerada por inteligência artificial no ChatGPT, 2025.

Para ilustrar o raciocínio do paradoxo de Aquiles, Morris (1998) propõe uma versão simplifica: suponha que Aquiles corra o dobro da velocidade da tartaruga, que parte com uma vantagem inicial de dez metros. Aquiles leva um segundo para percorrer essa distância e alcançar o ponto de partida da tartaruga. Nesse intervalo, a tartaruga já avançou cinco metros. Em seguida, Aquiles percorre esses cinco metros em 0,5 segundo, mas, nesse tempo, a tartaruga avança mais 2,5 metros. Esse processo se repete indefinidamente, com distância e tempos decrescente, conforme apresentado no Quadro 1.

Quadro 1 – Representação temporal do paradoxo de Aquiles e a tartaruga

Fase da corrida	Distância (m)	Tempo (s)	Tempo acumulado (s)
1	10	1	1
2	5	0,5	1,5
3	2,5	0,25	1,75
4	1,25	0,125	1,875
5	0,625	0,0625	1,9375
6	0,3125	0,03125	1,96875
...	...	...	...

Fonte: A autora.

Embora o número de etapas seja infinito, o tempo total necessário para Aquiles alcançar a tartaruga converge para 2 segundos. Trata-se de uma progressão geométrica de razão \( r = \frac{1}{2} \), cujo primeiro termo é \( a = 1 \).

A soma infinita dos tempos pode ser representada pela série:

\[
S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots
\]

A fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita com \( |r| < 1 \) é:

\[
S = \frac{a}{1 – r}
\]

Substituindo os valores:

\[
S = \frac{a}{1 – \frac{1}{2}} = 2
\]

Esse exemplo ilustra, de maneira concreta e intuitiva, o conceito moderno de limite: mesmo diante de infinitas subdivisões de tempo e espaço, é possível obter um valor final bem definido.

Assim, os paradoxos de Zenão, longe de serem meras curiosidades filosóficas, constituem marcos históricos no processo de construção do pensamento matemático, antecipando noções que seriam formalizadas séculos depois no Cálculo Diferencial e Integral.

Assista ao vídeo: Paradoxos de Zenon

Referências
MORRIS, Richard. Uma breve história do infinito: dos paradoxos de Zenão ao universo quântico. Tradução: Maria Luiza Borges. Rio de Janeiro: Jorge Zahar Ed., 1998.
ZUCHI, Ivanete. A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/102893. Acesso em: 06 jun. 2025.

Método da exaustão

Outro nome essencial para a gênese do Cálculo é o Arquimedes, considerado um dos principais precursores da noção moderna de limite. Na ausência de ferramentas formais como o número real ou as séries infinitas, Arquimedes desenvolveu o chamado método da exaustão, uma estratégia baseada em aproximações sucessivas para calcular áreas e volumes de figuras curvas. Inspirando em ideias de Eudoxo, esse método consistia em inscrever e circunscrever polígonos em figuras curvas e calcular suas áreas. Ao aumentar o número de lados desses polígonos, a área obtida se aproximava cada vez mais da área real da figura. Essa abordagem é considerada um passo importante na direção do que hoje conhecemos como integral definida (Boyer, 1949; Boyer; Merzbach, 2012; Zuchi, 2005). Um exemplo clássico é a quadratura da parábola, em que Arquimedes provou que a área de um segmento parabólico é igual a \( \frac{4}{3} \) da área do triângulo com a mesma base e altura:

Figura 2 – Quadratura da parábola

Fonte: Boyer e Merzbach (2012, p. 103).

Mesmo sem recorrer ao conceito de soma infinita, Arquimedes obteve aproximações notavelmente precisas. No caso da área do círculo, ele utilizou polígonos com até 96 lados, alcançando resultados surpreendentemente próximos dos valores reais. Embora não tenha formulado explicitamente o conceito de limite, suas ideias e métodos forneceram a base sobre a qual, séculos depois, o Cálculo seria construído. Sua obra evidencia que a essência conceitual do limite já estava presente, mesmo que ainda não formalizada pela linguagem moderna da Análise.
Assista aos vídeos: História do Cálculo Arquimedes e A Quadratura da Parábola: como Arquimedes calculou essa área?

História do Cálculo Arquimedes

A Quadratura da Parábola: como Arquimedes calculou essa área?

Referências
BOYER, Benjamin Carl. The history of the calculus and its conceptual development. Canada: General Publishing Company, 1949.
BOYER, Benjamin Carl. MERZBACH, Uta Caecilia. História da Matemática. Tradução: Helena Castro. São Paulo: Blucher, 2012.
ZUCHI, Ivanete. A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/102893. Acesso em: 06 jun. 2025.

De Newton e Leibniz à Formalização Moderna

O século XVII marcou um período de intensa atividade científica e matemática, impulsionado por desafios práticos em áreas como engenharia hidráulica, navegação e astronomia (Zuchi, 2005). Nesse contexto, dois dos maiores pensadores da história da matemática — Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz — trabalhando de forma independente, estabeleceram os fundamentos do que viria a ser o Cálculo Diferencial e Integral. Apesar de ainda não utilizarem o conceito de limite com o rigor moderno, ambos desenvolveram métodos baseados em quantidades que se aproximam indefinidamente de outras.

Figura 3 – Representação de Newton e Leibniz

Fonte: Imagem gerada por inteligência artificial no ChatGPT, 2025.

Newton, por exemplo, criou o método dos fluxos, introduzindo as ideias de “primeiras e últimas razões”, que representavam razões que se aproximavam de um valor fixo. Em sua obra Principia Mathematica (1687), ele sugeriu que grandezas cujas razões tendem continuamente à igualdade podem ser consideradas “finalmente iguais” (Boyer, 1949; Boyer; Merzbach, 2012). Trata-se de uma formulação embrionária da noção de limite. Leibniz, por sua vez, introduziu as notações diferenciais d e ∫, baseando-se em quantidades infinitesimais que se aproximam de zero. Sua abordagem favoreceu a manipulação algébrica e a disseminação do Cálculo, tornando-o mais acessível a diferentes áreas da matemática (Boyer; Merzbach, 2012).

Esses dois matemáticos contribuíram para consolidar o uso da ideia de aproximação como uma ferramenta poderosa, embora ainda baseada em argumentos intuitivos e sem uma definição formal de limite. Com o avanço das ideias do Cálculo, surgiu a necessidade de conferir rigor lógico e precisão aos conceitos utilizados, especialmente ao limite. Esse processo de formalização ocorreu ao longo dos séculos XVIII e XIX, com contribuições decisivas de diversos matemáticos.

No século XVIII, Jean le Rond d’Alembert destacou-se ao criticar o uso dos infinitesimais e defendeu o Cálculo deveria ter como base conceitual o limite. Em seus escritos na Encyclopédie, argumentou que uma quantidade é o limite da outra quando esta pode se aproximar indefinidamente daquela, sem jamais alcançá-la (Boyer; Merzbach, 2012). Nesse contexto propôs uma interpretação mais rigorosa da derivação, afirmando que derivar uma equação consiste em encontrar o limite da razão entre duas diferenças finitas, antecipando a formulação moderna da derivada como:

\[
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{dy}{dx}
\]

Figura 4 – Representação de Jean le Rond d’Alembert

Fonte: Imagem gerada por inteligência artificial no ChatGPT, 2025.

Essa concepção representa a definição embrionária da derivada sob a ótica do limite, na qual a taxa de variação de uma função é compreendida como o comportamento da razão \( \frac{dy}{dx} \) à medida que \( \Delta x \) se aproxima de zero, substituindo progressivamente os argumentos baseados em variações infinitesimais por fundamentos mais precisos e analíticos (Boyer; Merzbach, 2012).

Figura 5 – Representação de Augustin-Louis Cauchy

Fonte: Imagem gerada por inteligência artificial no ChatGPT, 2025.

Em 1821, Augustin-Louis Cauchy estabeleceu uma definição mais precisa e aritmética do limite, afastando-se do uso de infinitesimais. Ele afirmou: “Quando valores sucessivos atribuídos a uma variável se aproximam indefinidamente de um valor fixo de modo a acabar diferindo dele por tão pouco quanto se queira, esse último chama-se o limite dos outros todos” (Boyer; Merzbach, 2012, p. 336). Essa definição consolidou os pilares do que hoje entendemos como Cálculo moderno.

Em 1854, Karl Weierstrass aperfeiçoou a definição de limite ao introduzir a linguagem formal dos critérios épsilon e delta, eliminando completamente qualquer noção de movimento ou tempo. Sua formulação expressa que:
Para todo número positivo ε, por menor que seja, existe um número positivo δ tal que, para todo x no domínio da função f, se \( 0 < |x – a| < \delta \), então \( |f(x) – L| < \varepsilon \).

\[
\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{dy}{dx}
\]

Figura 6 – Representação de Karl Weierstrass

Fonte: Imagem gerada por inteligência artificial no ChatGPT, 2025.

Em 1858, Richard Dedekind ofereceu uma base aritmética para o conceito de número real por meio dos cortes de Dedekind, definindo os números reais a partir da completude dos racionais. Essa construção fundamentou logicamente noções como continuidade, convergência e limite, sem recorrer à geometria (Boyer; Merzbach, 2012). Finalmente, no século XX, Henri Lebesgue reformulou o conceito de integral, ampliando-o com base na ideia de limite de funções. Sua abordagem permitiu trabalhar com funções mais gerais e impulsionou o desenvolvimento da Análise Matemática moderna. Essa trajetória demonstra que o conceito de limite não surgiu pronto, mas foi construído historicamente em diálogo com as necessidades matemáticas de cada época, até atingir o grau de rigor e generalidade que conhecemos hoje.

Referências
BOYER, Benjamin Carl. The history of the calculus and its conceptual development. Canada: General Publishing Company, 1949.
BOYER, Benjamin Carl. MERZBACH, Uta Caecilia. História da Matemática. Tradução: Helena Castro. São Paulo: Blucher, 2012.
OPENAI. Imagem gerada por inteligência artificial representando Augustin-Louis Cauchy. ChatGPT. Disponível em: https://chat.openai.com/. Acesso em: 28 jun. 2025.
OPENAI. Imagem gerada por inteligência artificial representando Jean le Rond d’Alembert. ChatGPT. Disponível em: https://chat.openai.com/. Acesso em: 28 jun. 2025.
OPENAI. Imagem gerada por inteligência artificial representando Karl Weierstrass. ChatGPT. Disponível em: https://chat.openai.com/. Acesso em: 28 jun. 2025.
OPENAI. Imagem gerada por inteligência artificial representando Newton e Leibniz. ChatGPT. Disponível em: https://chat.openai.com/. Acesso em: 28 jun. 2025.
ZUCHI, Ivanete. A abordagem do conceito de limite via sequência didática: do ambiente lápis papel ao ambiente computacional. Tese (Doutorado em Engenharia de Produção) – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2005. Disponível em: https://repositorio.ufsc.br/xmlui/handle/123456789/102893. Acesso em: 06 jun. 2025.

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